GIMNAZIJA
AKTUELNO
Forum
SAJTOVI
ZANIMLJIVO
Lajbnic i Njutn radili su gotovo u istom vremenskom periodu, nezavisno jedan od drugog i obojica dosli do pojma izvoda. Pojam izvoda nastao je krajem XVII veka u vezi sa izučavanjem neravnomernih kretanja. Preciznije, pomoću izvoda je bilo moguce uvesti pojam trenutne brzine pravolinijskog kretanja. Uopšte, pomocu izvoda moze se predstaviti brzina promene veličina koje se neravnomerno menjaju (temperature tela,električne struje...). Pojam izvoda pojavio se i u vezi sa nalaženjem tangente krive u datoj tački.U tom smislu, zauzima značajno mesto u matematici i njenim primenama.
Neka je y=ƒ(x) kriva u ravni xOy, M0(x0,y0) proizvoljna fiksirana tačka na toj krivoj i M(x,y) još jedna tačka te krive,različita od M0. Priraštaj nezavisno promenljive je broj
Δx=x-x0,
a priraštaj funkcije ƒ u tački x0 je broj
Δƒ(x0)=ƒ(x)-ƒ(x0)=ƒ(x0+Δx)-ƒ(x0).
Prava MM0 je sečica date krive. Nagib te krive odreðen je njenim koeficijentom pravca, koji je jednak:
Koficijent pravca sečice jednak je količniku priraštaja funkcije i priraštaja nezavisno promenljive.
Prvi izvod ƒ'(x) funkcije ƒ u tački x0 je konačna granična vrednost:
Izvod funkcije ƒ u tački x0 je broj koji je jednak koeficijentu pravca tangente te funkcije u tački M0(x0,y0).
Funkcija ![]() |
Izvod ![]() |
Važi za |
![]() |
0 | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Ako su ƒ i g diferencijabilne funkcije u tački x i c-konstanta, tada vazi:
Ako je funkcija y=ƒ(x) diferencijabilna u tački x, a funkcija z=g(y) diferencijabilna u tački y=ƒ(x),tada je slozena funkcija z=g(ƒ(x)) diferencijabilna u tački x i vazi:
Jednačina tangente krive l, koja je grafik funkcije y=ƒ(x) u tački (x0,y0) ∈ l je:
Jednačina normale krive l, koja je grafik funkcije y=ƒ(x) u tački (x0,y0) ∈ l je:
Neka je funkcija ƒ diferencijabilna u intervalu (a,b) (tj. neka ima izvod u svakoj tački tog intervala). Ako je ƒ´(x) > 0, za svako x ∈ (a,b), tada je funkcija ƒ rastuca u tom intervalu. Ako je ƒ´(x) < 0, za svako x ∈ (a,b), onda je funkcija ƒ opadajuca u tom intervalu.
Neophodan uslov za postojanje lokalnog ekstemuma: Izvod funkcije ƒ u tački c lokalnog ekstemuma, u kojoj je funkcija ƒ diferencijabilna jedank je nuli.
Dovoljan uslov za postojanje lokalnog ekstremuma:
Neka funkcija ƒ(x) : (a,b)→ R ima u svakoj tački x ∈ (a,b) drugi izvod. Funkcija ƒ je konveksna na (a,b) ako i samo ako je ƒ″ > 0 za sve x ∈ (a,b). Funkcija ƒ je konkavna na (a,b) ako i samo ako je ƒ″ < 0 za sve x ∈ (a,b).
Neka je funkcija ƒ diferencijabilna u nekoj okolini tačke x0 i ima drugi izvod u toj okolini, osim, možda, u tački x0. Ako ƒ″(x) menja znak pri prolazu argumenta kroz tačku x0, onda je (x0,ƒ(x0)) prevojna tačka krive y=ƒ(x).
Teorema 1: Neka su funkcije ƒ(x) i g(x) definisane u intervalu (a,b],
, u intervalu (a,b] postoje konačni izvodi ƒ´(x) i g´(x), pri čemu je g´(x) ≠ 0 i, najzad, postoji(konačan ili ne) limes i
. Tada je
.
Teorema 2: Neka su funkcije ƒ(x) i g(x) definisane u intervalu (a,b],
, u intervalu (a,b] postoje konačni izvodi ƒ´(x) i g´(x), pri čemu je g´(x) ≠ 0 i, najzad, postoji(konačan ili ne) limes i
. Tada je
.
Teoreme 1 i 2 važe i kada je a= +∞ ili a= -∞.
Редовни
Изборни